母分散の検定・推定｜χ²分布とExcelで計算

この記事でわかること

母分散の検定の手順（χ²統計量とExcelのCHISQ.INV関数）
母分散・母標準偏差の95%信頼区間の求め方
t検定（平均）・F検定（2つの分散）との使い分け

📌 前提知識：仮説検定の考え方と標準偏差・分散の求め方を読んでおくと理解しやすくなります

加工条件を見直して、寸法のばらつきを減らす改善を行った。サンプルの標準偏差は確かに小さくなったが、これは「たまたま」ではないのか——。平均の差はt検定で確かめられますが、ばらつき（分散）が変わったかを確かめるのが母分散の検定です。

品質管理では、平均値が同じでもばらつきが大きければ不良が増えます。ばらつきの変化を統計的に判断できることは、工程改善の効果確認に直結します。この記事では、χ²（カイ二乗）分布を使った母分散の検定と区間推定を、Excelの関数と例題で解説します。QC検定2級の「検定と推定」分野の頻出テーマです。

母分散の検定を使う場面・条件
検定統計量とχ²分布
例題：改善でばらつきは減ったか
母分散の区間推定（95%信頼区間）
まとめ

母分散の検定を使う場面・条件

母分散の検定は、1つの母集団の分散が、基準の値と異なるかを調べる検定です。次のような場面で使います。

工程改善の前後で、寸法・重量などのばらつきが変わったか確かめたい
設備や材料の変更後も、従来どおりのばらつき水準（σ₀）を維持できているか確認したい
規格や顧客要求で決められたばらつきの上限を満たしているか判断したい

条件は、データが正規分布に従うとみなせることです。この検定は正規性の崩れや外れ値に敏感なので、ヒストグラムなどで分布を確認してから使います。また、比べる相手で手法が変わる点にも注意してください。基準値σ₀²と比べるなら本記事のχ²検定、2つの群の分散どうしを比べるならF検定です。F検定はF検定とt検定の違いと使い分けで解説しています。

検定統計量とχ²分布

サンプルサイズn、標本分散s²のとき、検定統計量は次の式です。σ₀²は比べたい基準の分散（帰無仮説の値）です。

χ² = (n − 1) s² / σ₀²

帰無仮説（σ² = σ₀²）が正しいとき、この統計量は自由度 n−1 のχ²分布に従います。標本分散s²はExcelのVAR.S関数で求められます（=VAR.S(B2:B17)）。χ²分布の棄却限界値はCHISQ.INV関数です。

下側の限界値：=CHISQ.INV(α, 自由度)
上側の限界値：=CHISQ.INV.RT(α, 自由度)

「ばらつきが減ったか」を見るなら下側だけの片側検定、「変わったか」を見るなら両側検定です。χ²分布は左右対称ではないため、両側検定では下側と上側で別々の限界値を使います。ここがt検定と感覚が違うところです。

なお、同じχ²分布を使う検定でも、分割表で使うカイ二乗検定（独立性・適合度）は用途がまったく別です。分布が同じだけで、調べる対象（分散か、度数の偏りか）が違います。

例題：改善でばらつきは減ったか

切削部品の寸法ばらつきは、従来工程で母標準偏差 σ₀ = 0.05 mm（σ₀² = 0.0025）で管理されてきました。加工条件の改善後、n = 16個を測定したところ、標本標準偏差は s = 0.03 mm（s² = 0.0009）でした。「ばらつきが減った」といえるか、有意水準5%の片側検定で確かめます。

手順1：仮説を立てる

帰無仮説 H₀：σ² = 0.0025（ばらつきは変わっていない）
対立仮説 H₁：σ² < 0.0025（ばらつきは減った）

手順2：検定統計量を計算する

χ² = (16 − 1) × 0.0009 / 0.0025 = 15 × 0.36 = 5.4

手順3：棄却限界値と比べる

下側5%の限界値は =CHISQ.INV(0.05, 15) で 7.261 です。χ² = 5.4 < 7.261 で棄却域に入るので、帰無仮説を棄却します。「改善でばらつきは有意に減った」と判断できます。p値は =CHISQ.DIST(5.4, 15, TRUE) で 0.012 となり、0.05を下回ることからも同じ結論です。

もし「変わったか」を見る両側5%なら、下側 =CHISQ.INV(0.025, 15) = 6.262、上側 =CHISQ.INV.RT(0.025, 15) = 27.488 の外側に出るかで判定します（今回の5.4は下側6.262を下回るため、両側でも有意です）。

母分散の区間推定（95%信頼区間）

検定とセットで、改善後の母分散がどの範囲にあるかも推定しておきましょう。95%信頼区間は次の式です。

(n−1)s² / χ²(0.025) ≤ σ² ≤ (n−1)s² / χ²(0.975)

分子は (n−1)s² = 15 × 0.0009 = 0.0135。分母は上側2.5%点 =CHISQ.INV.RT(0.025, 15) = 27.488 と、下側2.5%点 =CHISQ.INV(0.025, 15) = 6.262 です。大きい限界値で割ると下限、小さい限界値で割ると上限になる点に注意してください。

下限：0.0135 / 27.488 = 0.00049
上限：0.0135 / 6.262 = 0.00216

母分散の95%信頼区間は 0.00049 ≤ σ² ≤ 0.00216。平方根を取れば母標準偏差の区間で、0.022 ≤ σ ≤ 0.046 mm です。従来の0.05 mmが区間の外にあることからも、ばらつき低減が裏付けられます。信頼区間の考え方そのものは信頼区間の求め方で解説しています。