正規分布とは｜確率密度関数とExcelで確率を計算する手順

「規格上限を外れる確率はどのくらいか」——この問いに、ばらつきの情報だけで答えられるのが正規分布の強みです。設備や材料が変わったとき、不良率がどう動くかを事前に見積もれます。

この記事では、正規分布の意味と確率密度関数を整理したうえで、ExcelのNORM.DIST関数を使った確率計算の手順を解説します。製造工程の引張強度データを例に、規格外れの確率を実際に計算します。

正規分布とは

正規分布（ガウス分布）は、平均 μ（ミュー）と標準偏差 σ（シグマ）の2つのパラメータだけで決まる確率分布です。釣り鐘のような左右対称の形をしており、自然界・工業の多くの測定値がこの分布に近似します。

正規分布が重要な理由は「確率の計算ができる」点にあります。平均と標準偏差が分かれば、「ある範囲にデータが入る確率」を理論的に求められます。

正規分布の確率密度関数（PDF）は以下の式で表されます。\[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \]

この式を直接計算する機会は実務ではほとんどありません。Excelの関数（NORM.DIST）や表（z表）を使えば、確率を数秒で求められます。式の意味だけ押さえておけば十分です。

正規分布では、平均からの距離（σの倍数）によって含まれる確率が決まっています。

μ ± 3σ の範囲外に出るのは約0.27%——1000回に3回以下の頻度です。これが管理図の管理限界線（UCL・LCL）を「平均 ± 3σ」に設定する理由です。管理限界を超えた点は偶然とは考えにくい、つまり工程に異常があると判断します（詳細はX-R管理図の作り方と見方を参照）。

異なる平均・標準偏差をもつ正規分布を統一的に扱うために使うのがz値（標準得点）です。\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

z値は「平均から何σ離れているか」を表します。z = 0 が平均、z = 2 なら平均から2σ上、z = −1 なら1σ下にいる位置です。

z値に変換したあとの分布を標準正規分布（μ = 0、σ = 1）と呼びます。ExcelのNORM.S.DIST関数が標準正規分布の確率を返します。

ある工程で製造する部品の引張強度が、平均 μ = 500 MPa、標準偏差 σ = 5 MPa の正規分布に従うとします。

\[ z = \frac{490 – 500}{5} = -2.0 \] \[ P(X < 490) = \Phi(-2.0) = 0.02275 = 2.275\% \]

約2.3%の製品が490 MPa未満になります。100個製造したうち約2個が規格下限を割り込む計算です。

490と510はどちらも平均から2σ離れた位置です（z = ±2.0）。\[ P(490 \leq X \leq 510) = \Phi(2.0) – \Phi(-2.0) = 0.95450 = 95.450\% \]

これは先の68-95-99.7ルール（μ ± 2σ = 95.45%）の確認です。

\[ z = \frac{512 – 500}{5} = 2.4 \] \[ P(X > 512) = 1 – \Phi(2.4) = 1 – 0.99180 = 0.00820 = 0.82\% \]

512 MPaを超える製品は約0.82%——1000個に8個程度です。この計算が「工程能力で十分か」の判断に直結します（工程能力指数（Cp・Cpk））。

Excelでは NORM.DIST 関数1つで正規分布の確率を求められます。

例題を Excel で計算する場合：

第4引数を TRUE にすると累積分布関数（CDF）の値が返ります。FALSE にすると確率密度関数（PDF）の値になります。実務では TRUE を使います。