直交表による実験計画法は「どの因子が効くか」を効率よく絞り込む手法でした。では、「その因子の最適値はいくつか」を知りたいときはどうすればいいか。そのために使うのが応答曲面法（Response Surface Methodology、RSM）です。
直交表実験との違い
実験計画法の直交表は、因子を「水準」として離散的に扱います。たとえば温度を「160℃・180℃・200℃」の3水準で設定するイメージです。これで「どの温度帯が良いか」の傾向は掴めます。
でも「最適温度は175℃なのか192℃なのか」という連続的な最適値を求めるには、直交表実験だけでは限界があります。RSMは因子を連続量として扱い、応答（目的変数）の形を曲面としてモデル化して最適条件を特定します。
応答曲面法の基本的な考え方
RSMでは、応答 \(y\) を因子 \(x_1, x_2, \ldots\) の二次多項式でモデル化します。2因子の場合の式はこちらです。\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_{11} x_1^2 + \beta_{22} x_2^2 + \beta_{12} x_1 x_2 + \varepsilon \]
各項の意味はこちら。
- \(\beta_0\)：切片（全体の基準値）
- \(\beta_1, \beta_2\)：主効果（各因子の一次の効果）
- \(\beta_{11}, \beta_{22}\)：二次効果（曲率。「山型か谷型か」を決める）
- \(\beta_{12}\)：交互作用効果
このモデルから「応答が最大（または最小）になる \(x_1, x_2\) の値」を数学的に求めるのがRSMの核心です。
端的に言うと、”結果 y を、条件 x1・x2 の組み合わせで表す式を作り、最も良い条件を探す方法”です。
RSMの実験計画：どの点でデータを取るか
二次モデルを推定するには、格子点だけでなく軸上の点や中心点も含めた実験計画が必要です。代表的な計画が2つあります。
中心複合計画（Central Composite Design、CCD）
最もよく使われる計画です。2水準の完全要因計画（または一部実施計画）に、軸点（star points）と中心点を追加して構成します。2因子の場合、実験点は次のようになります。
| 点の種類 | 位置のイメージ | 役割 |
|---|---|---|
| 角点（factorial points） | 正方形の4頂点 | 主効果・交互作用の推定 |
| 軸点（axial points） | 各軸上の±α点（4点） | 二次効果（曲率）の推定 |
| 中心点（center points） | 中央（3〜5回繰り返し） | 純誤差の推定・モデルの適合度確認 |
Box-Behnken計画（BBD）
軸点の代わりに「辺の中点」を使う計画です。CCDと異なり、因子の極端な組み合わせ（全因子が最大値・最小値）の実験点がありません。実験条件の組み合わせに物理的な制約がある場合に向いています。
具体例：温度と圧力の最適条件を求める
樹脂の成形工程で、温度（\(x_1\)）と圧力（\(x_2\)）が製品の引張強度（MPa）に与える影響を調べます。CCDで13点の実験を行い、重回帰分析で応答モデルを推定します。
| 実験番号 | 温度 \(x_1\) (℃) | 圧力 \(x_2\) (MPa) | 引張強度 \(y\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 160 | 4.0 | 52 |
| 2 | 200 | 4.0 | 58 |
| 3 | 160 | 6.0 | 55 |
| 4 | 200 | 6.0 | 70 |
| 5 | 152 | 5.0 | 50 |
| 6 | 208 | 5.0 | 65 |
| 7 | 180 | 3.6 | 54 |
| 8 | 180 | 6.4 | 62 |
| 9〜13 | 180（中心） | 5.0（中心） | 61〜63 |
このデータに二次モデルを当てはめると、たとえば次のような式が得られます（係数は回帰分析で推定）。\[ \hat{y} = -198.5 + 1.82 x_1 + 12.3 x_2 – 0.0045 x_1^2 – 0.85 x_2^2 + 0.018 x_1 x_2 \]
この式を偏微分してゼロと置くことで、応答が最大になる条件（定常点）を求めます。\[ \frac{\partial \hat{y}}{\partial x_1} = 0, \quad \frac{\partial \hat{y}}{\partial x_2} = 0 \]
連立方程式を解くと、たとえば最適条件が「温度 189℃、圧力 5.6 MPa」と得られます。直交表実験では到達できなかった連続的な最適値が特定できます。
応答曲面法の実施ステップ
- スクリーニング実験：2水準直交表や要因実験で、効いている因子を2〜3個に絞る
- 実験計画の選択：CCD or BBD を決め、実験点を設定する
- 実験の実施：各実験点でデータを取得する
- モデルの推定：重回帰分析で二次モデルを推定する（Excelの回帰分析ツールで実行できます）
- モデルの検証：決定係数・残差・適合度検定でモデルの良さを確認する
- 最適条件の決定：定常点を求め、実験で確認する
Excelでできること・できないこと
Excelでも二次モデルの回帰分析（ステップ4）は実行できます。回帰分析のやり方と結果の見方の手順で、\(x_1, x_2, x_1^2, x_2^2, x_1 x_2\) を説明変数として投入すれば係数が推定できます。
ただし応答曲面の3Dグラフや最適点の自動探索はExcelでは手間がかかります。本格的なRSM解析はJMP・Minitab・Rなどの統計ソフトを使うのが現実的です。
まとめ
直交表実験が「効く因子を探す」手法なら、RSMは「最適値を見つける」手法です。製品開発や工程最適化の最終段階で使います。
実務での流れとしては、まず要因実験や直交表で重要因子を絞り込んでからRSMに進む、という順序が一般的です。一度に全部やろうとすると実験回数が膨大になるので、スクリーニング→RSMの2段階で進めるのがコツです。
